Solid State Physics

晶体结构

1. 晶体、非晶体、准晶体、多晶体

   • 晶体：内部原子排布具有周期性

   • 非晶体：内部原子排布不具有周期性

   • 准晶体：内部原子排布具有旋转对称性、不具备晶体的平移对称性

   • 多晶体：由许多不同形状、不同尺寸、取向混乱的小晶粒组成，每个小晶粒可近似看成一个小的单晶

2. 晶体结构

   • 简单立方(sc)：配位数：6

   • 体心立方(bcc)：Li,Na,K等碱金属，配位数：8 - 布里渊区：12面体

   • 面心立方(fcc, ABC)：Cu，配位数：12 - 布里渊区：14面体（截角八面体）

   • 六角密排(hcp, AB)：配位数：12

   • 金刚石结构：

   • 闪锌矿结构：磷化铟(InP)、砷化镓(GaAs)

   

   简单立方	体心立方	面心立方
   {100}	{110}	{111}
   $a$	$\sqrt{2}a/2$	$\sqrt{3}a/3$

   ​面心立方、六角密排是两个最密的晶体结构，堆积比、致密度 = 0.74

3. 原胞、单胞：

   • 原胞：体积最小的晶胞，只含有一个原子

   • 单胞：惯用晶胞，边长称为：晶格常数

4. 指数：

   	晶向指数	等效晶向
   晶向	[hkl]	<hkl>
   晶面	(hkl)	{hkl}

   ​* 晶面指数：原胞

   • 密勒指数：惯用晶胞（负向指数：晶向指数上加横杠，如 $[\bar{1}00]$ ）

   • 面间距=面密度／体密度

5. X射线

   • 布拉格公式 $2dsin(\theta)=n\lambda$

   • 衍射角 $=2\theta$

   • 捞埃方程：$R_1 (k_2-k_1) = 2\pi n$

6. 缺陷

   • 点缺陷：空位(空节点)、间隙原子

   • 线缺陷：位错，可分为螺型位错、刃型位错

   • 面缺陷：晶界、堆垛层错

7. 倒格子：

   

8. 布里渊区：倒格子空间的维格纳-赛茨(W-S)原胞

固体的结合

1. 结合能、内能：

   • 结合能：分散的自由原子结合成为晶体的过程中， 将有一定的能量W 释放出来，即结合能

   • 内能：如果以分散原子为能量零点，晶体结合 后晶体的内能即 -W

   • 原子能结合成晶体的根本原因，在于原子结合起来 之后具有更低的能量，晶体比自由原子组合更稳定

2. 平衡距离：$r_0$

   • 距离 > 平衡距离，吸引力

   • 距离 < 平衡距离，排斥力

   

   • 系统可以处于稳定平衡态的条件是：n>m

   $$U^{''}|_{r_0} > 0$$

3. 成键类型

   

固体电子论

1. 发展

   1. 德鲁德-经典电子气理论
   2. 索末菲自由电子论（金属电子论）
   3. 布洛赫能带理论（周期势场中的电子运动）

   

2. 索末菲：

   • 自由空间：

     E-k关系

   • 有限晶体：

     k空间点阵密度：$\rho(k) = \frac{V}{(2\pi)^3}$

     在表面对应能量为E的k空间球体中，波矢k允许的取值总数： $$k 空间的密度 \times 空间的体积 = \rho(k) \frac{4}{3}\pi k^3$$

     对于每个k态，电子自旋能够取两个可能值，电子能态总数 $$Z(E) = 2 \times \rho(k) \times \frac{4}{3}\pi k^3$$ $$g(E) = \frac{dZ(E)}{dE}$$ 其他的一些等式： ​ $$p=hk$$ $$E = \frac{h^2k^2}{2m}$$

   • 费米 - 狄拉克分布函数

     在平衡态下，一个给定能态 E 被电子所占据的几率是温度的函数: ​ $$f(E_i)=\frac{1}{e^{(E_i-E_F)/K_BT}+1}$$ 其中，$E_F$ 叫做费米能级

   • 电子总数 $$N = \Sigma_i f(E_i)g(E_i)$$ 基态（T=0K时），电子完全占据费米能级以下的能级： $$\int^{E_F^0}_{0}g(E)dE = N$$

   • 局限性：

     • 电子与离子无相互作用
     • 无法解释与晶体结构有关的现象
       • 固体为什么有导体、非导体的区别？
       • 相同元素构成的固体就有导体和绝缘体的导电性差别
     • 根本原因：自由电子近似不能严格符合晶体内部情况

3. 布洛赫能带理论：

   • 布洛赫定理：

     • 当势场具有晶格周期性：$V(r) = V(r + R_n)$
     • 薛定谔方程的解$\phi$具有如下性质： $$\phi(r+R_n) = e^{ikR_n}\phi(r)$$
     • 布洛赫函数： $$\phi(r) = e^{ikr}u(r)$$
     • 其中，$u(r+R_m)=u(r)$

   • 能隙宽度： $$E_g = 2|V_n| = 2 \times | \int^{a/2}_{-a/2}V(x)e^{-i\frac{2\pi}{a}nx}dx |$$

4. 准经典粒子近似：∆𝐤 ≪ 𝟐𝛑/𝐚

5. 有效质量：晶体中的电子（或空穴）除了受到外场作用外，还要受到晶体中原子的周期势场和其他 电子的平均势场的作用，在讨论电子受外场力作用下运动时，有效质量即是把内场力等价电子质量部分的结果。

固体的电特性 - 晶体中电子在外电场下的运动

1. 有效质量：

   $$\frac{1}{m_a} = \frac{1}{\hbar}\frac{d^2E}{dk^2}$$

2. 平均速度：

   $$v = \frac{1}{\hbar}\frac{dE}{dk}$$

3. 导电性

   满带电子不导电，部分填充能带在电场下产生电流

   

   

4. 近满带、空穴

   • 近满带：满带中缺少了电子会产生一定的导电性，但这种导电性和部分填充带的导电性不同

   • 空穴：满带上某一个状态$k_1$没有电子，等效为：整个能带的电流，以及电流在电、磁场下的变化，完全等效于一个假想的粒子这个粒子称为空穴。

   • 空穴概念的引入使得满带顶附近缺少一些电子的问题和导带底有少数电子的问题十分相似，这两中情况下产生的导电性分别称为空穴导电性和粒子导电性

   • 电子和空穴统称为载流子

5. 导体、半导体、绝缘体

   1. 导体：除去完全充满的价带，还有仅被电子部分的填充的导带

   2. 半导体：电子充满价带，带隙较小容易发生跃迁，价带电子被激发到导带，形成两个未满带，产生一定的导电性。

   3. 绝缘体：电子恰好充满价带，导带全空，带隙太大无法发生跃迁

   4. 导带、禁带、价带

   

固体的电特性 - 金属的电特性

1. 玻尔兹曼方程

   $$\frac{d f}{d t} = (\frac{\partial f}{\partial t})_{漂移} + (\frac{\partial f}{\partial t})_{碰撞}$$

2. 金属中电子的运输过程

   1. 无外场作用下：费米分布

   2. 存在外场作用下： $$\frac{d k}{d t} = -\frac{qE}{\hbar}$$

3. 欧姆定律

   有外场作用下，形成稳定电流： $$j = \sigma E$$

4. 电子散射的两种机制

   1. 理想晶体：电子处于确定的k态，不会发生跃迁，没有电阻，$\tau$为无穷大。

   2. 实际晶体：

      1. 晶格散射 $\tau_L$：与温度有关，高温下起主要作用

      2. 杂质、缺陷散射 $\tau_I$：与温度无关，低温下起主要作用

      3. 总散射几率是两种散射机制的散射几率之和： $$\frac{1}{\tau} = \frac{1}{\tau_L} + \frac{1}{\tau_I}$$ $$\rho = \rho_L + \rho_I$$

固体的电特性 - 半导体的电特性

1. 半导体中的杂质

   1. 施主、受主

      • 施主：给出一个电子（杂质：P），n型半导体

      

      • 受主：得到一个电子（杂质：B），p型半导体

      

2. 非本征半导体

固体的电特性 - 固体间接触的电特性

1. 金属接触的电特性

   • 金属 - 真空：

     • 热电子发射：

       电流密度： $$j = AT^2 e^{-\frac{E}{k_{B}T}}$$ $$A = 4\pi e\frac{m(j_B T)^2}{\hbar^3}$$

   • 金属 - 金属：

     • 利用接触电势差来补偿费米能级的差，使电子达到同级平衡

2. 半导体结

   • PN结（同质结）：在一块本征半导体上，用不同的参杂工艺，使一边形成N型半导体，另一边形成P型半导体

     • 具有单向导电性

     • ​

   • 异质结